함수의 개념과 네 가지 표현

함수는 입력과 출력을 잇는 엄밀한 규칙이다

자판기와 함수 상자라는 직관

이번 시간에는 함수의 개념과 네 가지 표현에 대해 알아보겠습니다. 미적분학이라는 거대한 건축물을 튼튼하게 지어 올리기 위해 우리가 가장 먼저 다져야 할 바닥 기초는 바로 함수의 정확한 정의입니다. 여기서 잠깐 ‘함수(function)‘라는 말의 뿌리를 먼저 살펴볼까요? 한자로는 ‘상자 함(函)’ 자에 ‘셈 수(數)’ 자를 쓰는데, 이는 숫자가 들어가서 계산되어 나오는 상자라는 뜻에서 유래한 번역어이지요. 영어 ‘function’ 역시 원래 ‘작용’이나 ‘기능’을 뜻하는 라틴어에서 출발한 단어랍니다. 수학의 역사에서 이 용어를 본격적으로 끌어다 쓴 인물은 미적분학의 개척자인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)였습니다 [1]. 당시 라이프니츠에게 함수란 곡선 위를 움직이는 점에 따라 변하는 접선의 길이 같은 기하학적 양을 뜻하는 말이었지요. 그 뒤를 이어 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 함수를 변수와 상수가 어우러진 수식으로 파악했고, 19세기에 이르러 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)는 수식이 있든 없든 두 집합의 원소 사이에 맺어지는 대응 관계 자체로 그 의미를 넓혔습니다.

본격적인 함수의 정의로 들어가기 전에, 먼저 두 가지 기초 약속인 ‘집합’과 ‘원소’의 개념을 가볍게 짚고 넘어가겠습니다. 우선 수학에서 집합(set)이란 기준이 분명해서 그 대상을 똑 부러지게 구별할 수 있는 모임을 뜻하고, 그 모임 안에 들어 있는 각각의 대상을 원소(element)라고 부릅니다. 예를 들어 집합 $D$ 안에 $x$라는 값이 들어 있다면 기호로 $x \in D$라고 적는데, 여기서 $\in$ 기호는 ‘속한다’라는 뜻을 지닌 그리스 문자 엡실론에서 따온 것이지요. 또한 어떤 집합 $A$의 모든 원소가 다른 집합 $B$ 안에 고스란히 들어 있다면 $A$를 $B$의 부분집합이라고 부르며 $A \subseteq B$로 나타냅니다. 앞으로 함수를 이야기할 때 이 기호들이 쉴 새 없이 등장할 테니, 먼저 눈에 익혀 두시면 뒤의 내용이 훨씬 수월하게 읽히실 겁니다.

“그게 무슨 소리야? 수식으로 $y = x^2$처럼 적혀 있으면 다 함수 아니야? 왜 굳이 귀찮게 대응 규칙이라고 부르는 건데?”

혹시 이렇게 생각하셨다면 큰 오산입니다. 함수의 진짜 본질은 $y = x^2$ 같은 수식의 겉모습에 있는 것이 아니라, 입력값과 출력값 사이에 맺어지는 ‘규칙의 일관성’에 있기 때문이지요. 이 원리를 가장 손에 잡히게 이해하는 방법은 우리 주변의 음료 자판기를 떠올리는 것입니다. 우리가 자판기 앞에서 ‘콜라’ 버튼을 누르는 행동이 바로 입력($x$)이고, 기계 내부의 회로가 작동해서 ‘콜라 캔’을 내보내는 과정이 바로 함수($f$)의 역할인 셈이지요. 만약 콜라 버튼을 눌렀는데 어떨 때는 사이다가 나오고, 어떨 때는 아무것도 안 나오며, 심지어 한 번 눌렀는데 콜라와 생수가 동시에 쏟아져 나온다면 어떻겠습니까? 누구나 그 자판기를 고장 난 기계라고 판정할 것입니다. 반면에 1번 버튼과 2번 버튼을 눌렀을 때 둘 다 똑같이 콜라가 나오는 자판기는 지극히 정상적인 기계이지요.

물론 자판기 비유가 모든 것을 완벽하게 설명해 주지는 못하므로, 수학적 함수와의 차이점도 분명히 짚고 넘어가야 합니다. 실제로 현실의 자판기는 버튼이 기껏해야 10개나 20개뿐이고 재고가 떨어지면 작동을 멈추지만, 수학의 함수는 끝없이 이어지는 무한히 많은 실수를 입력으로 받아들이고 단 한 번도 품절되는 법이 없지요. 그럼에도 ‘하나의 입력에는 오직 하나의 결과만 대응된다’는 핵심 원리만큼은 자판기와 수학적 함수가 완벽하게 일치합니다. 엄밀하게 말하면 집합 $D$에 속하는 임의의 원소 $x$가 주어졌을 때, 또 다른 집합 $E$의 ‘오직 하나뿐인 원소’ $f(x)$를 짝지어 주는 규칙 $f$를 집합 $D$에서 집합 $E$로의 함수라고 부릅니다 [2]. 기호로는 화살표를 써서 $f: D \to E$와 같이 간단하게 표현하지요.

함수 상자 도해는 이러한 작동 메커니즘을 한눈에 보여줍니다. 왼쪽 입구로 들어가는 $x$는 우리가 허용된 범위 안에서 자유롭게 골라 집어넣을 수 있는 값이라 하여 독립변수(independent variable)라고 부릅니다. 여기서 ‘독립’이란 남의 눈치를 보지 않고 스스로 값을 정할 수 있다는 뜻이지요. 이 $x$가 상자 안으로 들어가면 내부에 설계된 규칙 $f(x) = x^2 + 1$에 따라 계산이 이루어집니다. 예를 들어 $x = 3$을 넣으면 상자는 $3^2 + 1 = 10$이라는 단 하나의 정밀한 결과만 계산해서 오른쪽 출구로 내보내지요. 마찬가지로 $x = -3$을 넣더라도 $(-3)^2 + 1 = 10$이라는 유일한 값이 튀어나옵니다. 이처럼 입력값 $x$가 결정되는 순간 그에 따라 운명이 종속되어 정해지는 출력값 $y = f(x)$를 종속변수(dependent variable)라고 부릅니다. 어떤 값을 집어넣더라도 모호함 없이 딱 하나의 결과만을 보장한다는 결정론적 성격이야말로 함수를 지탱하는 가장 단단한 기둥인 셈이지요.

정의역과 치역을 구하는 실전 원칙

함수를 빈틈없이 정의하려면 대응 규칙 $f$만 던져주어서는 부족하고, 그 규칙이 작동하는 무대인 세 가지 집합을 함께 밝혀야 합니다. 이를 이해하기 위해 자판기 비유를 한 단계 더 확장해 볼까요? 자판기 동전 투입구에 넣을 수 있도록 허가된 동전의 종류(예: 100원, 500원) 전체의 모임이 바로 정의역(domain)입니다. 영어 ‘domain’은 원래 영주가 다스리는 ‘영토’라는 뜻인데, 함수라는 규칙이 지배력을 행사할 수 있는 입력값의 영토라고 생각하시면 머리에 쏙 들어오실 겁니다. 다음으로 자판기 카탈로그에 인쇄된 이론적인 모든 음료 후보들의 집합을 공역(codomain)이라고 부르고, 실제로 버튼을 눌렀을 때 배출구를 통해 손에 쥘 수 있는 음료들만 따로 모은 부분집합을 치역(range)이라고 정의합니다 [2]. 기호로 치역을 엄밀하게 적으면 $\{f(x) \mid x \in D\}$가 되지요.

함께 제시된 벤다이어그램을 살펴보면 세 집합 사이의 서열 관계가 선명하게 드러납니다. 왼쪽의 푸른색 타원은 입력값들이 모여 있는 정의역 $X$를 뜻하지요. 정의역에 들어 있는 원소 $x_1, x_2, x_3$은 빠짐없이 각자 단 하나의 화살표를 뻗어 오른쪽의 붉은색 타원인 공역 $Y$를 향합니다. 이때 오른쪽 타원 안쪽에 그려진 연초록 점선 타원에 주목해 보실까요? 실제로 화살표를 맞아서 선택을 받은 원소들($y_1, y_2$)만이 모여 치역 $f(X)$를 이루게 됩니다. 공역 안에는 후보로 이름을 올렸지만 끝내 어떤 입력값과도 짝지어지지 못한 원소가 남아 있을 수 있으므로, 치역은 언제나 공역의 부분집합($f(X) \subseteq Y$)이 된다는 사실을 자연스럽게 알 수 있지요.

실전 미적분학 문제에서는 정의역을 일일이 알려주지 않고 그저 대수적인 수식 $y = f(x)$만 덜렁 주어지는 경우가 대부분입니다. 이때 우리는 복잡한 허수가 아닌 실숫값 출력을 정상적으로 계산해 낼 수 있는 모든 실수의 최대 집합을 정의역으로 삼는데, 이를 자연 정의역(natural domain)이라고 부릅니다. 여기서 잠깐 선수 지식을 하나 점검해 보겠습니다. 우리가 다루는 실수 체계에서는 절대로 어겨서는 안 되는 몇 가지 연산의 금기가 있지요. 바로 어떤 수를 $0$으로 나눌 수 없다는 규칙과, 실수 범위에서는 음수에 제곱근을 씌울 수 없다는 규칙, 그리고 로그의 진수 자리에는 반드시 $0$보다 큰 양수만 들어와야 한다는 규칙입니다. 결국 자연 정의역을 찾는 작업은 결국 이 금기 사항들을 피해 안전한 영역만 골라내는 과정이라고 보시면 됩니다.

첫째로, 분수 형태의 식이 보이면 무조건 분모가 $0$이 되는 지점을 걸러내야 합니다. 왜냐하면 수학에서 $0$으로 나누는 행위는 아무런 값도 정의할 수 없는 절대 금지 연산이기 때문이지요. 예를 들어 $f(x) = \frac{1}{x-1}$이라는 함수가 주어졌다면 분모인 $x - 1$이 $0$이 되어서는 안 되므로 $x = 1$은 정의역에서 탈락하게 됩니다. 따라서 이 함수의 자연 정의역은 $1$을 제외한 모든 실수, 즉 구간 기호로 $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$가 되는 것이지요.

둘째로, 제곱근이나 네제곱근처럼 짝수 거듭제곱근 기호가 보이면 그 안쪽 식이 반드시 $0$ 이상이어야 합니다. 실수의 세계에서는 어떤 수를 짝수 번 곱해도 결코 음수가 될 수 없기 때문이지요. 예컨대 $g(x) = \sqrt{x+5}$가 실수 함수로 작동하려면 $x + 5 \ge 0$을 만족해야 하므로, 자연 정의역은 $x \ge -5$인 구간 $[-5, \infty)$로 정해집니다. 반면에 세제곱근($\sqrt[3]{x}$) 같은 홀수 거듭제곱근은 음수를 세 번 곱하면 다시 음수가 되므로, 근호 안에 음수가 들어가도 실숫값이 거뜬히 계산되어 별다른 제약을 받지 않습니다.

셋째로, 로그함수가 섞여 있을 때는 로그의 진수가 $0$보다 크다는 ‘엄격한 양수 조건’을 확인해야 합니다. 가령 $\ln(x - 2)$가 수식에 들어 있다면 $x - 2 > 0$이어야 하므로 $x > 2$인 범위만 정의역으로 인정받게 되지요. 만약 하나의 수식 안에 분모와 근호가 동시에 들어 있다면, 각 조건이 요구하는 영역이 모두 겹치는 교집합을 구해야 합니다. 예를 들어 $h(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$의 경우, 분자의 근호 조건에서는 $x + 2 \ge 0$, 즉 $x \ge -2$가 나오고 분모 조건에서는 $x - 1 \neq 0$, 즉 $x \neq 1$이 나옵니다. 결국 이 두 조건을 동시에 만족하는 자연 정의역은 $[-2, 1) \cup (1, \infty)$가 되는 셈이지요.

구분	집합의 정의	포함 관계	판정 시 핵심 주의 사항
정의역 (Domain)	함수 $f$에 대입 가능한 모든 유효한 독립변수 $x$의 모임	입력 공간 전체	분모가 0이 되는 점과 짝수 거듭제곱근 내부가 음수가 되는 점 배제
공역 (Codomain)	출력이 될 수 있는 이론적 후보값 전체의 집합	목표 공간 전체	특별한 언급이 없으면 실수 전체 집합 $\mathbb{R}$로 간주
치역 (Range)	정의역의 모든 원소들이 실제로 사상되어 맺힌 함숫값들의 모임	치역 $\subseteq$ 공역	함숫값의 상한과 하한, 극값과 점근선의 위치를 추적하여 결정

치역을 찾아내는 작업은 정의역을 구할 때보다 한 걸음 더 깊이 들어가는 분석을 요구합니다. 정의역이 수식이 고장 나지 않도록 허락된 입력 범위를 따지는 문법 검사라면, 치역은 그 범위 안에서 수식이 실제로 빚어내는 출력값의 최저점과 최고점을 샅샅이 추적하는 과정이기 때문이지요. 예를 들어 $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$을 함께 살펴볼까요? 먼저 근호 안쪽이 $0$ 이상이어야 하므로 $4 - x^2 \ge 0$에서 정의역은 $[-2, 2]$가 됩니다. $x$가 이 구간을 움직일 때 $x^2$은 $0$부터 $4$까지의 값을 가지므로, $4 - x^2$ 역시 $0$부터 $4$ 사이의 값을 오가게 되지요. 여기에 양의 제곱근을 씌우면 함숫값 $f(x)$는 가장 작을 때 $\sqrt{0} = 0$, 가장 클 때 $\sqrt{4} = 2$가 되어 그 사이를 끊김 없이 채우게 됩니다. 따라서 이 함수의 치역은 $[0, 2]$라고 확신 있게 말할 수 있는 것이지요.

함수를 바라보는 네 가지 창문

말, 수식, 표, 그래프의 유기적 결합

함수의 속살을 남김없이 꿰뚫어 보려면 하나의 표현에 갇히지 않고 네 가지 시선을 자유롭게 넘나들어야 합니다. 실제로 미적분학 교과서의 대가로 꼽히는 제임스 스튜어트(James Stewart)는 이를 ‘네 가지 표현 방식(Rule of Four)‘이라고 이름 붙이며, 다각도에서 함수를 조망할 것을 강조했습니다 [1]. 예를 들어 우리가 축구 경기 하나를 온전히 파악하려 할 때도 캐스터의 음성 해설(말), 실시간 득점과 슈팅 기록표(표), 선수들의 움직임을 담은 전술 다이어그램(그래프), 그리고 승률을 예측하는 통계 공식(수식)을 모두 함께 보지 않습니까? 함수도 이와 똑같습니다. 많은 분들이 함수를 오직 $y = f(x)$ 같은 알파벳 수식으로만 떠올리지만, 사실 함수는 언어적(Verbally), 대수적(Algebraically), 수치적(Numerically), 시각적(Visually) 표현이라는 네 개의 창문이 서로 맞물려 돌아가는 입체적인 대상이지요.

네 방향 십자 다이어그램을 따라 네 가지 창문이 어떻게 서로를 비추는지 차례대로 확인해 보겠습니다. 첫째로 언어적 표현은 “가만히 놓아 떨어뜨린 물체의 낙하 거리는 흐른 시간의 제곱에 비례한다"처럼 자연 현상이나 인과관계를 일상 언어로 풀어쓰는 방식입니다. 이는 수학적 모델링이 시작되는 출발점이자, 딱딱한 기호에 현실 세계의 살아 있는 의미를 불어넣어 주는 역할을 하지요. 둘째로 이러한 말의 법칙을 기호로 압축하여 $s(t) = 4.9t^2$ ($t \ge 0$)처럼 명쾌한 공식으로 적어낸 것이 바로 대수적 표현입니다. 대수적 표현은 어느 시점의 값이든 오차 없이 계산해 내고, 앞으로 우리가 배울 미분이나 적분 같은 강력한 도구를 적용하기에 가장 알맞은 형태이지요.

셋째와 넷째 표현은 현장의 데이터와 직관적인 그림을 담당합니다. 이때 실험실에서 초시계와 센서를 이용해 $t = 0$일 때 $s = 0$, $t = 1$일 때 $s = 4.9$, $t = 2$일 때 $s = 19.6$처럼 측정한 순서쌍들을 깔끔하게 정리하면 수치적 표현인 ‘표’가 완성됩니다. 실제 공학 현장이나 물리 실험에서는 처음부터 예쁜 수식이 하늘에서 뚝 떨어지기보다, 센서로 관측한 숫자 표가 먼저 손에 들어오는 경우가 훨씬 많지요 [4]. 다만 표는 유한 개의 데이터만 담을 수 있어서 그 사이사이의 연속적인 움직임까지 전부 담아내지는 못한다는 한계가 있습니다. 마지막으로 이 숫자 쌍들을 가로축이 시간 $t$, 세로축이 거리 $s$인 좌표평면에 점 $(t, s(t))$로 찍고 매끄러운 곡선으로 이으면 시각적 표현인 ‘그래프’가 태어납니다. 그래프를 딱 펼쳐 보면 물체가 시간이 흐를수록 점점 더 무섭게 가속하며 떨어진다는 전체적인 흐름을 단숨에 눈으로 읽어낼 수 있지요.

유능한 공학자와 수학자는 이 네 개의 창문을 마치 한 몸처럼 자유자재로 오갑니다. 즉 칠판에 적힌 복잡한 수식을 보면서도 머릿속으로는 그래프의 출렁이는 모양을 그려낼 수 있어야 하고, 반대로 실험실에서 얻은 투박한 수치표를 들여다보며 그 뒤에 숨은 대수적 규칙을 추론해 낼 수 있어야 하는 것이지요. 앞으로 어떤 새로운 함수를 만나더라도 꼭 이 네 가지 창문으로 번갈아 들여다보는 습관을 들이시길 권해 드립니다.

수직선 판정법: 그래프가 진짜 함수인지 판별하는 도구

그런데 좌표평면 위에 아름답게 그려진 곡선이라고 해서 무조건 함수의 그래프가 될 수 있는 것은 아닙니다. 앞서 우리가 자판기 비유를 통해 못 박았듯이, 함수는 하나의 입력에 오직 하나의 출력만 내놓아야 한다는 엄격한 약속을 지켜야 하기 때문이지요. 그렇다면 눈앞에 놓인 어떤 곡선이 $y$를 $x$의 함수로 나타내는지 그림만 보고 1초 만에 판별해 내는 마법의 도구는 없을까요? 바로 그 역할을 수행하는 것이 수직선 판정법(Vertical Line Test)입니다.

“그게 무슨 소리야? 수직선 판정법이라는 게 눈으로 선을 긋기만 하면 바로 보이는 건가? 왜 하필 가로선이 아니라 세로선으로 판정하는 거지?”

얼핏 생각하면 가로선이나 세로선이나 비슷해 보일 수 있지만, 실제로는 전혀 다릅니다. 우리가 판별하려는 것은 가로축의 값 $x$를 입력으로 넣었을 때 세로축의 값 $y$가 출력으로 몇 개나 나오는지 따지는 작업이기 때문이지요. 좌표평면에서 세로로 똑바로 선 수직선의 방정식은 $x = c$($c$는 상수) 꼴을 가집니다. 즉, 그 수직선 위에 놓인 모든 점들은 예외 없이 $x$좌표가 똑같은 $c$라는 뜻이지요. 따라서 어떤 곡선에 수직선 $x = c$를 쓱 그었을 때 생기는 교점들의 $y$좌표는, 바로 입력값 $x = c$를 집어넣었을 때 튀어나오는 출력값 $y$들을 전부 모아 놓은 것과 같습니다. 만약 어느 위치에 수직선을 그어도 곡선과 만나는 점이 언제나 ‘한 개 이하’라면, 어떤 입력을 넣든 출력이 최대 하나뿐이라는 증거이므로 당당히 함수의 그래프로 합격점을 받습니다. 반대로 단 한 곳에서라도 수직선이 곡선과 두 번 이상 부딪힌다면, 하나의 입력 $c$에 두 개 이상의 출력이 동시에 쏟아지는 고장 난 자판기 꼴이므로 함수가 될 수 없지요.

나란히 배치된 두 곡선을 수식과 함께 비교해 보면 그 차이가 명백해집니다. 왼쪽의 붉은색 원은 중심이 원점이고 반지름이 $2$인 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 4$를 그린 것입니다. 이 식을 $y$에 대해 정리하면 $y^2 = 4 - x^2$이 되고, 양변에 제곱근을 취하면 $y = \pm \sqrt{4 - x^2}$을 얻게 되지요. 그림에서 주황색 점선으로 수직선 $x = 1$을 그어 보았더니, $y = \pm \sqrt{3}$이 되어 곡선과 위쪽 $(1, \sqrt{3})$과 아래쪽 $(1, -\sqrt{3})$ 두 군데에서 동시에 만나는 것을 볼 수 있습니다. 입력 $1$ 하나를 넣었는데 출력이 두 개나 나왔으니 원 전체는 절대로 함수가 될 수 없지요. 하지만 이 원을 $x$축을 따라 반으로 뚝 잘라 위쪽 반원 $f_1(x) = \sqrt{4 - x^2}$과 아래쪽 반원 $f_2(x) = -\sqrt{4 - x^2}$으로 나누어 놓으면 이야기가 달라집니다. 각각의 반원은 어느 곳에 수직선을 그어도 최대 한 점에서만 만나므로 완벽한 함수로 다시 태어나게 되는 것이지요.

반면에 오른쪽에 그려진 푸른색 3차 함수 그래프는 수직선 판정법을 가뿐하게 통과합니다. 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 어느 위치에 세로선을 그어 보아도 곡선과는 오직 한 점에서만 만나기 때문이지요. 더불어 실전 문제에서는 정의역의 구간을 나누어 구간마다 서로 다른 수식을 적용하는 구간별 정의 함수(piecewise-defined function)도 자주 마주치게 됩니다. 이름만 거창할 뿐 우리 일상에서 전기요금 누진제나 택시 기본요금과 주행요금처럼 구간별로 다른 계산법을 적용하는 것과 똑같은 원리이지요. 대표적인 예로 절댓값 함수 $|x|$는 $x \ge 0$일 때는 $x$, $x < 0$일 때는 $-x$로 쪼개어 정의되는데, 이 역시 모든 수직선과 정확히 한 점에서만 만나므로 훌륭한 함수입니다.

특수한 형태의 함수와 대칭성

대칭의 미학: 우함수와 기함수

함수의 그래프가 품고 있는 대칭성은 복잡한 계산을 마법처럼 줄여줄 뿐만 아니라 자연의 질서를 엿보게 해 주는 소중한 열쇠입니다. 우선 대칭성을 본격적으로 논하기 전에, 먼저 두 가지 기초 개념을 계단 삼아 밟고 올라가 보겠습니다. 좌표평면에서 어떤 도형이 $y$축에 대해 대칭이라는 것은 $y$축을 접는 선 삼아 종이를 반으로 접었을 때 왼쪽과 오른쪽이 데칼코마니처럼 포개진다는 뜻이고, 식으로는 점 $(x, y)$와 점 $(-x, y)$가 함께 존재함을 의미합니다. 반면에 원점 $(0, 0)$에 대해 대칭이라는 것은 원점에 압정을 꽂고 종이를 $180^\circ$ 빙글 돌렸을 때 바람개비처럼 원래 모양과 똑같이 겹쳐진다는 뜻이며, 점 $(x, y)$가 있으면 반드시 반대편의 점 $(-x, -y)$도 함께 있어야 하지요. 따라서 함수의 대칭성을 따지려면 무엇보다 먼저 정의역 $D$ 자체가 원점에 대해 대칭이어야, 즉 $x \in D$일 때 $-x \in D$도 존재해야만 $f(x)$와 $f(-x)$를 나란히 놓고 비교할 수 있습니다.

이처럼 이 전제 위에서 대칭적인 함수는 크게 우함수와 기함수라는 두 가족으로 나뉩니다. 먼저 정의역의 모든 $x$에 대해

$$ f(-x) = f(x) $$

를 만족하는 함수를 우함수(even function)라고 부릅니다. 여기서 한자 ‘우(偶)‘는 짝을 이룬다, 즉 ‘짝수’를 뜻하고 영어 ’even’ 역시 짝수라는 의미에서 왔지요. 왜 이런 이름이 붙었을까요? 다항함수 중에서 $f(x) = x^2$이나 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$처럼 짝수 차수항과 상수항($0$차항)으로만 이루어진 식에 $-x$를 넣으면 마이너스 부호가 짝수 번 곱해지면서 사라져 원래 값과 똑같아지기 때문이지요. 삼각함수 중에서는 $f(x) = \cos x$가 대표적인 우함수이고, 그래프상에서는 $y$축을 거울 삼아 완벽한 좌우 대칭을 이룹니다.

다음으로 정의역의 모든 $x$에 대해 부호가 정반대로 뒤집히는 함수를 기함수라고 부릅니다. 수식으로 적으면

$$ f(-x) = -f(x) $$

가 되는데, 여기서 한자 ‘기(奇)‘는 홀수라는 뜻이고 영어 ‘odd’ 역시 홀수를 의미하지요. 역시나 $f(x) = x^3 - 2x$처럼 홀수 차수항으로만 짜인 다항함수에 $-x$를 집어넣으면 마이너스 부호가 홀수 번 곱해져 밖으로 튀어나오기 때문에 붙은 이름입니다. 삼각함수 중 $f(x) = \sin x$가 대표적인 기함수이며, 기하학적으로는 원점을 중심으로 $180^\circ$ 회전했을 때 자기 자신과 포개지는 점대칭 구조를 보여주지요. 특히 기함수의 정의역 안에 $x = 0$이 들어 있다면 $f(-0) = -f(0)$, 즉 $f(0) = -f(0)$이 성립해야 하므로 $2f(0) = 0$에서 반드시 $f(0) = 0$이 됩니다. 다시 말해 원점에서 정의된 모든 기함수의 그래프는 예외 없이 원점 $(0, 0)$을 통과하게 된다는 흥미로운 사실을 알 수 있지요.

제시된 그림을 보면 두 함수가 지닌 대칭의 미학이 한층 더 또렷하게 다가옵니다. 왼쪽의 보라색 우함수는 $y$축을 기준으로 왼쪽과 오른쪽이 거울에 비친 듯이 똑같지요. 이러한 성질 덕분에 훗날 적분을 배울 때 대칭 구간 $[-a, a]$에서 우함수를 적분하라고 하면, 굳이 음수 구간까지 힘들게 계산할 필요 없이 오른쪽 절반인 $[0, a]$만 적분해서 $2$배를 해 주면 됩니다. 한편 오른쪽의 청록색 기함수는 원점을 지나면서 대각선 방향으로 완벽하게 대칭을 이루고 있지요. 기함수를 대칭 구간 $[-a, a]$에서 적분하면 $x > 0$ 쪽의 넓이와 $x < 0$ 쪽의 넓이가 크기는 똑같고 부호만 정반대라서 서로 깨끗하게 상쇄되어 결과가 무조건 $0$이 됩니다. 이러한 대칭성의 원리는 훗날 공학수학의 푸리에 급수(Fourier series)나 물리학의 파동 및 양자역학을 다룰 때 막대한 계산량을 단숨에 줄여주는 강력한 비기가 되지요 [3][4].

“뭐? 그럼 세상의 모든 함수가 우함수 아니면 기함수라는 거야? $f(x) = x^2 + x$ 같은 함수는 둘 다 아닌 것 같은데?”

매우 날카로운 지적이지만, 바로 이 지점에서 놀라운 반전이 기다리고 있습니다. 물론 우리가 일상이나 시험에서 마주치는 대부분의 함수는 우함수도 아니고 기함수도 아닙니다. 실제로 말씀하신 $f(x) = x^2 + x$에 $-x$를 대입하면 $f(-x) = x^2 - x$가 되는데, 이는 원래의 $f(x)$와도 다르고 $-f(x) = -x^2 - x$와도 다르니까요. 하지만 놀랍게도 원점 대칭인 정의역 위에서 정의된 함수라면, 아무리 비뚤어지고 제멋대로 생긴 함수라 할지라도 언제나 단 하나의 우함수 성분 $E(x)$와 단 하나의 기함수 성분 $O(x)$의 합으로 완벽하게 쪼개어 쓸 수 있습니다. 마치 뒤섞여 있는 좌우 스테레오 음향 신호를 깔끔하게 두 개의 채널로 분리해 내는 것과 같은 이치이지요.

자, 그렇다면 이 마법 같은 분해 공식을 우리가 직접 두 손으로 유도해 보겠습니다. 임의의 함수 $f(x)$가 어떤 우함수 $E(x)$와 기함수 $O(x)$의 합으로 쓰인다고 가정해 봅시다.

$$ f(x) = E(x) + O(x) $$

이제 이 식의 모든 $x$ 자리에 $-x$를 대신 집어넣어 볼까요? 그러면 $E(x)$는 우함수라서 $E(-x) = E(x)$가 되고, $O(x)$는 기함수라서 $O(-x) = -O(x)$가 되므로 다음과 같은 두 번째 식을 얻게 됩니다.

$$ f(-x) = E(-x) + O(-x) = E(x) - O(x) $$

자, 이제 눈앞에 놓인 첫 번째 식과 두 번째 식을 연립방정식처럼 나란히 두고 변변 더해 봅시다. 그러면 $+O(x)$와 $-O(x)$가 서로 사라지면서 $f(x) + f(-x) = 2E(x)$가 되어 우함수 성분 $E(x)$가 쏙 빠져나오지요. 반대로 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 이번에는 $E(x)$가 지워지면서 $f(x) - f(-x) = 2O(x)$가 되어 기함수 성분 $O(x)$를 손에 넣게 됩니다. 이 두 결과를 양변이 $2$로 나눈 뒤 하나로 합치면 다음과 같은 아름다운 분해 공식이 완성되지요.

$$ f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} $$

실제로 첫 번째 덩어리 $E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$에 $-x$를 넣어 보면 $\frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$가 되어 우함수임이 확인되고, 두 번째 덩어리 $O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$에 $-x$를 넣어 보면 $\frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$가 되어 기함수임이 빈틈없이 증명됩니다. 아까 질문하셨던 $f(x) = x^2 + x$ 역시 우함수 성분 $x^2$과 기함수 성분 $x$의 합으로 딱 떨어지게 나뉘는 것을 볼 수 있지요. 겉보기에 아무런 대칭이 없어 보이는 복잡한 공학 신호나 데이터 속에서도, 이처럼 우대칭과 기대칭이라는 두 질서가 늘 조화롭게 공존하고 있는 셈입니다.

6. 연습 문제

문제 1 [정의역과 치역의 판정]

함수 $f(x) = \frac{3}{\sqrt{16 - x^2}}$의 자연 정의역과 치역을 구하십시오.

출제 의도: 분수식과 무리식이 결합된 형태에서 실수 함수가 정의되기 위한 대수적 제약 조건을 정확히 파악하고, 함숫값의 변화 범위를 논리적으로 추론하여 치역을 구할 수 있는지 평가합니다.

풀이

첫째로, 자연 정의역을 구하기 위해 실수 연산의 금기 사항을 어기지 않는 조건을 찾아보겠습니다. 이때 분모에 짝수 제곱근이 들어 있으므로 근호 안의 식 $16 - x^2$은 원칙적으로 $0$ 이상이어야 하지만, 동시에 이 근호가 분수 전체의 분모 자리에 앉아 있으므로 절대 $0$이 되어서는 안 되지요. 따라서 등호가 빠진 $16 - x^2 > 0$이라는 엄격한 부등식이 성립해야 합니다. 이 부등식을 이항하여 정리하면 $x^2 < 16$이 되고, 양변에 제곱근의 성질을 적용하면 $-4 < x < 4$라는 범위를 얻게 되지요. 결국 함수 $f$의 자연 정의역은 열린구간 $(-4, 4)$입니다.

둘째로, 치역을 구하기 위해 정의역 $(-4, 4)$ 위에서 함숫값이 어떻게 변하는지 단계별로 추적해 보겠습니다. $x$가 $-4 < x < 4$ 사이를 움직일 때, $x^2$은 $x = 0$에서 가장 작은 값 $0$을 가지고 $x$가 $\pm 4$에 한없이 다가갈수록 $16$에 한없이 가까워지므로 $0 \le x^2 < 16$을 만족하지요. 여기에 마이너스를 붙이고 $16$을 더하면 $0 < 16 - x^2 \le 16$이 되며, 양의 제곱근을 씌우면 분모 $\sqrt{16 - x^2}$의 범위는 $0 < \sqrt{16 - x^2} \le 4$로 좁혀집니다. 이때 분자가 양수 $3$으로 고정되어 있으므로 전체 분수식의 값은 분모가 가장 클 때 오히려 가장 작아지게 되지요. 따라서 분모가 최댓값 $4$를 갖는 $x = 0$에서 $f(0) = \frac{3}{4}$이라는 최솟값이 나옵니다. 반대로 $x$가 $\pm 4$에 바짝 다가갈수록 분모가 양수 쪽에서 $0$으로 한없이 작아지므로, 전체 값 $f(x)$는 양의 무한대($\infty$)로 끝없이 치솟게 되는 것이지요.

검토 및 핵심 정리: 함숫값은 최솟값 $\frac{3}{4}$부터 시작하여 정의역 내에서 끊김 없이 모든 양의 실수로 커지므로 치역은 $[\frac{3}{4}, \infty)$입니다. 분모의 범위가 전체 분수식의 역수적 거동과 최솟값 및 발산을 결정한다는 원리를 이해하는 것이 핵심입니다.

문제 2 [수직선 판정법의 응용]

방정식 $x^2 - y^2 = 1$로 주어진 쌍곡선이 $y$를 $x$에 대한 함수로 나타내는지 수직선 판정법으로 설명하고, 이를 함수 형태로 분리하여 기술하십시오.

출제 의도: 음함수 형태로 주어진 방정식의 곡선이 왜 단일 함수가 될 수 없는지 수직선 판정법을 통해 기하학적·대수적으로 이해하고, 적절한 치역 제한을 통해 이를 함수로 분리하는 능력을 배양합니다.

풀이

첫째로, 수직선 판정법을 직접 적용해 보면서 이 방정식이 함수가 될 수 있는지 판별하겠습니다. 방정식 $x^2 - y^2 = 1$에 구체적인 수직선 $x = 2$를 대입해 보면 $2^2 - y^2 = 1$, 즉 $y^2 = 3$이라는 식이 나오지요. 이를 풀면 $y = \sqrt{3}$ 또는 $y = -\sqrt{3}$이 되어 수직선 $x = 2$가 쌍곡선과 $(2, \sqrt{3})$ 및 $(2, -\sqrt{3})$이라는 서로 다른 두 점에서 부딪힙니다. 하나의 입력 $x = 2$에 두 개의 출력이 동시에 대응되므로, 수직선 판정법에 의해 이 쌍곡선 전체는 $y$를 $x$의 함수로 나타낼 수 없는 셈이지요.

둘째로, 이 관계를 정당한 함수 두 개로 쪼개기 위해 주어진 식을 $y$에 관해 정리해 보겠습니다. $y^2 = x^2 - 1$이므로 양변에 제곱근을 씌우면 $y = \pm \sqrt{x^2 - 1}$이 얻어지지요. 여기서 부호에 따라 $y \ge 0$인 위쪽 갈래 $f_1(x) = \sqrt{x^2 - 1}$과 $y \le 0$인 아래쪽 갈래 $f_2(x) = -\sqrt{x^2 - 1}$로 분리해 놓으면, 각각의 곡선은 어느 수직선과도 최대 한 점에서만 만나게 되어 정당한 함수 자격을 얻습니다. 이때 두 함수가 실수 범위에서 무사히 계산되려면 근호 안쪽이 $x^2 - 1 \ge 0$을 만족해야 하므로, 인수분해 $(x - 1)(x + 1) \ge 0$을 풀면 각각의 자연 정의역은 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$가 되는 것이지요.

검토 및 핵심 정리: 좌우로 열린 쌍곡선 전체는 수직선과 두 번 만나 함수가 아니지만, $x$축을 경계로 상단과 하단의 두 조각으로 분리하면 각각은 유일한 출력 조건을 만족하는 함수로 재탄생합니다.

문제 3 [구간별 정의 함수의 함숫값 계산]

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 5 & (x < -2) \\ \sqrt{4 - x^2} & (-2 \le x \le 2) \\ 3x - 5 & (x > 2) \end{cases}$ 에 대하여 $f(-3), f(0), f(3)$의 값을 각각 구하십시오.

출제 의도: 입력값의 구간에 따라 대응 규칙이 달라지는 구간별 정의 함수의 구조를 정확히 해석하고, 주어진 입력값에 해당하는 조건식을 올바르게 선택하여 함숫값을 계산할 수 있는지 확인합니다.

풀이

첫째로, $f(-3)$을 구하기 위해 입력값 $x = -3$이 세 구간 중 어디에 속하는지부터 살피겠습니다. $-3 < -2$이므로 맨 위에 적힌 첫 번째 조건 구간 $x < -2$에 해당하지요. 따라서 첫 번째 규칙식 $x + 5$에 $x = -3$을 대입하여 계산하면 $f(-3) = -3 + 5 = 2$가 됩니다.

둘째로, $f(0)$을 구하기 위해 입력값 $x = 0$의 자리를 찾아보겠습니다. $0$은 $-2 \le 0 \le 2$라는 부등식을 만족하므로 가운데에 있는 두 번째 구간 조건에 들어가겠지요. 그러므로 두 번째 규칙식 $\sqrt{4 - x^2}$에 $x = 0$을 대입하면 $f(0) = \sqrt{4 - 0^2} = \sqrt{4} = 2$라는 값을 얻습니다.

셋째로, $f(3)$을 구하기 위해 입력값 $x = 3$의 위치를 확인하겠습니다. $3 > 2$이므로 맨 아래 세 번째 구간 조건에 해당하게 되지요. 따라서 세 번째 규칙식 $3x - 5$에 $x = 3$을 집어넣어 계산하면 $f(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$가 됩니다.

검토 및 핵심 정리: 구간별 정의 함수에서는 여러 개의 수식이 나열되어 있더라도 임의의 입력값 $x$는 오직 단 하나의 구간 조건에만 속해야 합니다. 경계점($-2, 2$)의 등호 포함 여부를 주의 깊게 확인하는 것이 실수 방지의 핵심입니다.

문제 4 [대칭성을 이용한 함수 분류]

함수 $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$이 우함수, 기함수, 또는 둘 다 아닌지 대수적으로 판정하십시오.

출제 의도: 우함수와 기함수의 대수적 판정 기준인 $g(-x)$의 계산을 정확히 수행하고, 유리함수의 대칭성을 엄밀하게 증명하는 절차를 숙달합니다.

풀이

먼저 대칭성을 따지기 위한 전제 조건으로 함수 $g(x)$의 정의역이 원점 대칭인지 확인해야 합니다. 분모 $x^2 + 1$은 모든 실수 $x$에 대해 언제나 $1$ 이상이므로 결코 $0$이 되지 않지요. 따라서 정의역은 실수 전체 집합 $(-\infty, \infty)$가 되고, 이는 원점에 대해 완벽하게 대칭입니다. 이제 대칭성을 판정하기 위해 식의 $x$ 자리에 $-x$를 대입하여 $g(-x)$를 계산해 볼까요? 분자 부분은 $(-x)^3 = (-1)^3 x^3 = -x^3$이 되고, 분모 부분은 $(-x)^2 + 1 = x^2 + 1$이 되지요. 이를 하나의 분수식으로 묶어 정리하면 다음과 같습니다.

$$ g(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3}{x^2 + 1} = -\left( \frac{x^3}{x^2 + 1} \right) = -g(x) $$

결국 정의역에 속한 모든 실수 $x$에 대해 $g(-x) = -g(x)$라는 관계식이 성립하므로, 주어진 함수 $g(x)$는 원점 대칭인 기함수임을 확실히 알 수 있지요.

검토 및 핵심 정리: 분자 $x^3$은 기함수이고 분모 $x^2 + 1$은 우함수입니다. 일반적으로 기함수를 우함수로 나누거나 곱하면 전체 함수는 기함수가 된다는 대수적 성질을 직접적인 식 변형을 통해 증명하였습니다.

문제 5 [함수의 우함수·기함수 성분 분해]

함수 $f(x) = (x+1)^2$을 우함수 성분 $E(x)$와 기함수 성분 $O(x)$의 합으로 나타내십시오.

출제 의도: 대칭성이 없어 보이는 일반 함수도 우함수 성분과 기함수 성분의 합으로 유일하게 분해될 수 있다는 이론적 공식을 실제 다항함수에 적용하여 계산하고, 그 결과를 다항식의 차수 관점에서 검증합니다.

풀이

우선 계산을 편하게 하기 위해 주어진 식을 전개한 뒤 $f(-x)$의 형태를 미리 구해 두겠습니다. 식을 풀면 $f(x) = x^2 + 2x + 1$이 되지요. 여기에 $x$ 대신 $-x$를 집어넣으면 $f(-x) = (-x + 1)^2 = x^2 - 2x + 1$을 얻게 됩니다.

첫째로, 우함수 성분 공식 $E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$에 두 식을 대입해 보겠습니다.

$$ E(x) = \frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)}{2} = \frac{2x^2 + 2}{2} = x^2 + 1 $$

실제로 $E(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = E(x)$가 되므로 우함수가 맞지요.

둘째로, 기함수 성분 공식 $O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$에 두 식을 대입하여 계산해 보겠습니다.

$$ O(x) = \frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{2} = \frac{4x}{2} = 2x $$

역시나 $O(-x) = 2(-x) = -2x = -O(x)$이므로 기함수가 맞습니다. 따라서 주어진 함수 $f(x)$는 다음과 같이 우함수 성분과 기함수 성분의 합으로 깔끔하게 분해되는 것이지요.

$$ f(x) = (x^2 + 1) + 2x $$

검토 및 핵심 정리: 도출된 결과에서 우함수 성분 $x^2 + 1$은 $2$차항과 상수항($0$차항)으로만 이루어져 있고, 기함수 성분 $2x$는 $1$차항으로만 이루어져 있습니다. 즉, 다항함수에서 우함수 성분은 짝수 차수항들의 모임이고 기함수 성분은 홀수 차수항들의 모임이라는 직관과 정확히 일치합니다.

참고문헌

1. Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 9th ed., Cengage Learning, 2021.
2. Thomas, G. B., & Hass, J., Thomas’ Calculus, 14th ed., Pearson, 2018.
3. Larson, R., & Edwards, B. H., Calculus, 11th ed., Cengage Learning, 2017.
4. Zill, D. G., & Wright, W. S., Calculus: Early Transcendentals, 4th ed., Jones & Bartlett Learning, 2011.